6. jarduera (IV) | Pi zenbakia: Euler (1734, 1738)

---

Leonhard Euler (Basilea, Suitza, 1707ko apirilaren 15a - San Petersburgo, Errusia, 1783 irailaren 18a) matematikaria eta fisikaria izan zen. Historiako matematikari handienetakoa, Arkimedesekin, Newtonekin, Leibnizekin eta Gaussekin batera; eta, argitaratutako lan kopuruari begiratuz gero, emankorrena, dudarik gabe. Orduko matematika-arlo ia guztietan ekarpen garrantzitsuak egiteaz gain terminologia eta notazio matematiko modernoaren sortzaileetakoa izan zen.

Eulerren formulak hartzen duen izena, Leonhard Eulerren omenez izan zen. Formula hau analisi konplexu arloko matematika-formula bat da, funtzio trigonometrikoen eta funtzio esponentzialen arteko erlazio sakona erakusten duena (Eulerren identitatea Eulerren formularen kasu berezi bat da). , non : x zenbaki erreala den; e logaritmo naturalaren oinarria den; i unitate irudikaria den; sin eta cos funtzio trigonometrikoak diren.

 

---

1734

1734. urtean Eulerrek formula hau proposatu zuen π konstantearen balioa kalkulatzeko:

Tamalez segida horren konbergentzia oso motela da, C lengoaian idatzitako hurrengo programan ikus daitekeen bezala:

/* 6c-Jarduera_PIzenbakiaEuler1 */
//------------------------------------------------------------------------------
//  Eulerren formula PI kalkulatzeko:
//      PI^2 = 6*(1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...) 
//  zoritxarrez segida honen konbergentzia oso motela da
//------------------------------------------------------------------------------

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define MUGA 0.000000001

int main() {
    double rSegida, rBatugaia, rDoikuntza;
    int iKont;

    printf("//////////////////////////////////////\n\n");

    do {
        printf("Kalkuluaren doikuntza eman (ehunmiloaren adibidez, 0.00000001): ");
        scanf("%lf", &rDoikuntza);
        if (rDoikuntza < MUGA) {
            printf("Doikuntza %.9f baino handiagoa izan dadila!\n", MUGA);
        }
    } while (rDoikuntza <= 0.0);

    printf("\n");

    rSegida = 1.0;   // lehen batugaia kanpoan
    iKont = 2;

    do {
        rBatugaia = 1.0 / (iKont * iKont);
        rSegida += rBatugaia;
        printf("iKont = %5d rSegida^2 = %16.14f rBatugaia = %17.14f\n", iKont, rSegida, rBatugaia);
        iKont++;
    } while (rBatugaia >= rDoikuntza);

    rSegida *= 6;

    printf("\n");
    printf("rSegida^2 = %16.10f\n", rSegida);
    printf("\n");
    printf("  rSegida = %16.10f\n", sqrt(rSegida));
    printf("       PI = %16.10f\n", M_PI);

    printf("\n");
    printf("//////////////////////////////////////\n");

    return 0;
}

---

1738

1738. urtean funtzio trigonometrikoen formula hau proposatu zuen Eulerrek π konstantearen balioa kalkulatzeko:

arc tan (1) = arc tan (1/2) + arc tan (1/3) =  π/4

Hona hemen, formularen azalpena. Ikusi lehenik eta behin, eskumako irudian ematen diren bi triangeluak antzekoak direla: biek 90ºko angelu bat daukate, eta bi triangeluetan angelu txikienaren tangenteak 1/2 balio dute.

Triangelu handian hau betetzen da: angelu handia = 90º angelu ertaina = c + 45º angelu txikia = b Hiru angeluak bilduz:   90º + (c + 45º) + b = 180º

Beraz, triangelu handian hau betetzen da b + c + 45º = 180 - 90º eta horregatik b + c = 45º betetzen da ere.

Baina, b = arc tan (1/2) eta c = arc tan (1/3) eta 45º=π/4 direlako, hiru balio horiek goiko ekuaziora eramanez π lor daiteke  arc tan (1/2) + arc tan (1/3) = π/4  bi konstanteen arku tangenteak ezagunak direlako.

Hau izan daiteke C lengoaian idatzitako programa:

/* 6c-Jarduera_PIzenbakiaEuler2 */
//------------------------------------------------------------------------------
//  Eulerren formula PI kalkulatzeko:
//      atan(1) = atan(1/2) + atan(1/3) =  π/4
//------------------------------------------------------------------------------

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    double rPIlaurden;

    printf("//////////////////////////////////////\n\n");

    rPIlaurden = atan(1.0 / 2.0) + atan(1.0 / 3.0);

    printf("rPIlaurden = %.20f\n", rPIlaurden);
    printf("\n");
    printf("PI (Euler) = %.20f\n", rPIlaurden * 4);
    printf("        PI = %.20f\n", M_PI);

    printf("\n");
    printf("//////////////////////////////////////\n");

    return 0;
}

---

6c-Jarduera_PIzenbakiaEuler1.cbp | main.c 6c-Jarduera_PIzenbakiaEuler2.cbp | main.c